2017-2018 学年上海市徐汇区南洋模范中学高二(上)开学数学试卷
一.填空题
1.(3 分)已知平面向量,且,则= .
2.(3 分)计算: = .
3.(3 分)若 f(n)=1+2+3+…+(n﹣1)+n+(n﹣1)+…+2+1(n∈N*),则 f(k+1)﹣f
(k)= .
4.(3 分)等比数列{an}中,已知 a2=4,,则通项公式为 .
5.(3 分)化简: = .
6.(3 分)函数 y=3sin(2x+5θ)的图象关于 y 轴对称的充要条件是 .
7.(3 分)等比数列{an}中,各项的和 a1+a2+…+an+…=,则 a1 的取值范围是 .
8.(3 分)函数(x≤0)的反函数是 .
9.(3 分)函数 f(x)=log0.5(x2﹣ax+3a)的值域为 R,则实数 a 的取值范围是 .
10.(3 分)记数列 an 是首项 a1=a,公差为 2 的等差数列;数列 bn 满足 2bn=(n+1)an,若对任意 n∈N*都有 bn≥b5 成立,则实数 a 的取值范围为 .
二.选择题
11.(3 分)等比数列{an}中,|a1|=1,a5=﹣8a2,a5>a2,则 an=( )
A.(﹣2)n﹣1 B.﹣(﹣2n﹣1) C.(﹣2)n D.﹣(﹣2)n 12.(3 分)已知,,,则向量在向量上的投影为( )
A. B.3 C.4 D.5
13.(3 分)要得到函数 y=sin2x 的图象,需要将函数的图象( ) A.向左平移 B.向右平移 C.向左平移 D.向右平移14.(3 分)如图,若,,,则向量可用,表示为( )
A. B. C. D.
15.(3 分)若 f(x)= 是 R 上的减函数,那么 a 的取值范围是( )
A.(0,1) B.(0,) C.[,) D.[,1)
16.(3 分)O 是平面上一定点,A、B、C 是该平面上不共线的 3 个点,一动点 P 满足:
,λ>0,则直线 AP 一定通过△ABC 的( )
A. 外心 B.内心 C.重心 D.垂心
17.(3 分)若函数 f(x)的值域是,则函数的值域是( )
A. B. C. D.
18.(3 分)对于函数 f(x)=,下列命题正确的是( )
A.值域[﹣1,1]
B. 当且仅当 x=2kπ+,(k∈Z)取得最大值
C. 最小正周期为π
D. 当且仅当 2kπ+π<x<2kπ+,(k∈Z)时 f(x)<0
三.解答题
19. 定义在 R+的增函数,对任意的 x,y∈R+,f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1.
(1)求 f(9);
(2)若 f(a)>f(a﹣1)+2,求 a 的取值范围.
20. 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,则 • = S△ABC.
(1) 求 sin2 +cos2A;
(2) 若 b=2,△ABC 的面积 S△ABC=3,求 a.
21. 已知函数 f(x)=sin2x﹣cos2x﹣ ,x∈R.
(1) 求函数 f(x)的最小正周期和单调递减区间;
(2) 设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 且 c=,f(C)=0.若 sinB
=2sinA,求 a,b 的值.
22. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n﹣5an﹣85,n∈N*.
(1) 证明:{an﹣1}是等比数列;
(2) 求出 n 为何值时,Sn 取得最小值,并说明理由.
23. 已知函数 f(x)=loga(a>0,a≠1)是奇函数.
(1) 求实数 m 的值
(2) 判断函数 f(x)在(1,+∞)上的单调性,并给出证明
(3) 当 x∈(n,a﹣2)时,函数 f(x)的值域是(1,+∞),求实数 a 与 n 的值.
2017-2018 学年上海市徐汇区南洋模范中学高二(上)开学数学试卷
参考答案与试题解析
一.填空题
1.(3 分)已知平面向量,且,则= (﹣4,﹣8) .
【分析】通过向量的平行,求出 m,然后直接求解即可.
【解答】解:因为平面向量 ,且 , 所以 1×m﹣(﹣2)×2=0,m=﹣4,
所以=2(1,2)+3(﹣2,﹣4)=(﹣4,﹣8).故答案为:(﹣4,﹣8).
【点评】本题考查向量的平行的充要条件,向量的加减法的基本运算,考查计算能力.
2.(3 分)计算: = ﹣4 .
【分析】根据极限的运算法则,对所求极限的代数式进行转化、求值即可.
【解答】解:
=
=
=
=﹣4.
故答案为:﹣4.
【点评】本题考查了极限的计算问题,也考查了转化思想,是基础题.
3.(3 分)若 f(n)=1+2+3+…+(n﹣1)+n+(n﹣1)+…+2+1(n∈N*),则 f(k+1)﹣f
(k)= 2k+1 .
【分析】利用倒序相加法求出 f(k),进一步求得 f(k+1),与 f(k)作差后得答案.
【解答】解:∵f(k)=1+2+3+…+(k﹣1)+k+(k﹣1)+…+3+2+1
=2[1+2+3+…+(k﹣1)]+k
=2× +k=k2.
∴f(k+1)﹣f(k)=(k+1)2﹣k2=2k+1. 故答案为:2k+1.
【点评】本题考查倒序相加法求数列的和,考查了学生观察问题和分析问题的能力,是中低档题.
4.(3 分)等比数列{an}中,已知 a2=4,,则通项公式为 an=(﹣1)n•24﹣n .
【分析】利用通项公式即可得出.
【解答】解设:等比数列{an}的公比为 q,∵a2=4,,
∴ ,解得 q=﹣.
∴an= =(﹣1)n•24﹣n. 故答案为:an=(﹣1)n•24﹣n.
【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
5.(3 分)化简: = ﹣sinθ .
【分析】根据诱导公式的口诀”奇变偶不变,符号看象限”和三角函数在各个象符号限中的符号,对式子进行化简.
【解答】解:式子= = =﹣
sinθ,
故答案为:﹣sinθ.
【点评】本题考查了诱导公式的应用,利用口诀“奇变偶不变,符号看象限”和三角函数在各个象符号限中的符号,一定注意符号问题,这也是易错的地方.
6.(3 分)函数 y=3sin(2x+5θ)的图象关于 y 轴对称的充要条件是 (k∈Z) .
【分析】直接利用整体思想和函数的图象关于 y 轴对称的条件得出结论.
【解答】解:函数 y=3sin(2x+5θ)的图象关于 y 轴对称,
则:5θ=kπ(k∈Z),
解得:(k∈Z).
故答案为:(k∈Z).
【点评】本题考查的知识要点:正弦型函数的性质的应用.
7 .( 3 分) 等比数列{an} 中, 各项的和 a1+a2+ … +an+ … = , 则 a1 的取值范围是
.
【分析】依题意知|q|<1 且 q≠0,由 = 和题意,求出公比 q 的表达式,再由公比的范围列出不等式组,可求得 a1 的取值范围
【解答】解:依题意知,等比数列的公比满足|q|<1 且 q≠0
所以 ,
则 = .
∴ =
那么:q=1﹣2a1.
则 ,
解得: 或 . 故答案为:
【点评】本题考查数列的求和与数列的极限,求得 q 是解题的关键,考查转化思想与运算能力,属于中档题
8.(3 分)函数 (x≤0)的反函数是 (x≥﹣1) .
【分析】先求函数 (x≤0)的值域,从而确定反函数的定义域,再解方程化出 x=﹣,从而写出反函数.
【解答】解:∵(x≤0),
∴y≥﹣1,
∴(y+1)3=x2,
∵x≤0,
故 x=﹣,
函数(x≤0)的反函数是 (x≥﹣1).故答案为:(x≥﹣1).
【点评】本题考查了反函数的求法,属于基础题.
9.(3 分)函数 f(x)=log0.5(x2﹣ax+3a)的值域为 R,则实数 a 的取值范围是 (﹣∞,
0]∪[12,+∞) .
【分析】由函数 f(x)=log0.5(x2﹣ax+3a)的值域为 R,可得 t=x2﹣ax+3a 能够取到大于 0 的所有数,再由判别式≥0 求得 a 的取值范围.
【解答】解:∵函数 f(x)=log0.5(x2﹣ax+3a)的值域为 R,
∴t=x2﹣ax+3a 能够取到大于 0 的所有数,
则△=(﹣a)2﹣12a≥0,解得 a≤0 或 a≥12,
∴实数 a 的取值范围是(﹣∞,0]∪[12,+∞).故答案为:(﹣∞,0]∪[12,+∞).
【点评】本题考查函数的值域,考查数学转化思想方法,是中档题.
10.(3 分)记数列 an 是首项 a1=a,公差为 2 的等差数列;数列 bn 满足 2bn=(n+1)an,若对任意 n∈N*都有 bn≥b5 成立,则实数 a 的取值范围为 [﹣22,﹣18] .
【分析】根据题意数列{an}是等差数列可得其通项公式为 an=2n+(a﹣2),进而得到 bn
= + ﹣1,结合二次函数的性质解决问题即可.
【解答】解:由题意可得:数列{an}是首项 a1=a,公差为 2 的等差数列所以 an=a+2(n﹣1)=2n+(a﹣2).
所以 bn= + ﹣1,即 bn 是关于 n 的一元二次函数.
由二次函数的性质可得: , 解得:﹣22≤a≤﹣18.
故答案为:[﹣22,﹣18].
【点评】解决此类问题的关键是熟悉等差数列的通项公式以及二次函数的性质,并且进行正确的运算也是关键.
二.选择题
11.(3 分)等比数列{an}中,|a1|=1,a5=﹣8a2,a5>a2,则 an=( )
A.(﹣2)n﹣1 B.﹣(﹣2n﹣1) C.(﹣2)n D.﹣(﹣2)n
【分析】根据等比数列的性质,由 a5=﹣8a2 得到等于 q3,求出公比 q 的值,然后由
a5>a2,利用等比数列的通项公式得到 a1 大于 0,化简已知|a1|=1,得到 a1 的值,根据首项和公比利用等比数列的通项公式得到 an 的值即可.
【解答】解:由 a5=﹣8a2,得到=q3=﹣8,解得 q=﹣2, 又 a5>a2,得到 16a1>﹣2a1,解得 a1>0,所以|a1|=a1=1
则 an=a1qn﹣1=(﹣2)n﹣1
故选:A.
【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的性质及前 n 项和的公式化简求值,是一道中档题.
12.(3 分)已知,,,则向量在向量上的投影为( )
A. B.3 C.4 D.5
【分析】向量 在向量 上的投影为 ,代入数据计算即可.
【解答】解:向量 在 在向量 上的投影为 =故选:A.
【点评】本题考查向量投影的概念,牢记公式是前提,准确计算是关键.
13.(3 分)要得到函数 y=sin2x 的图象,需要将函数 的图象( )
A.向左平移 B.向右平移 C.向左平移 D.向右平移
【分析】化简函数表达式,由左加右减上加下减的原则判断函数的平移的方向.
【解答】解:要得到函数 y=sin2x 的图象,需要将函数=sin[2(x﹣)]的图象,向左平移 单位即可.
故选:C.
【点评】本题考查三角函数的图象的平移变换,考查平移的原则的应用,基础题.
14.(3 分)如图,若,,,则向量可用,表示为( )
A. B. C. D.
【分析】由 = == +( ),化简可得结果.
【解答】解: = = = +( )= , 故选:A.
【点评】本题考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,得到 = =
,是解题的关键.
15.(3 分)若 f(x)= 是 R 上的减函数,那么 a 的取值范围是( )
A.(0,1) B.(0,) C.[,) D.[,1)
【分析】利用分段函数是减函数,列出不等式组求解即可.
【解答】解:因为 f(x)为(﹣∞,+∞)上的减函数,
所以有 ,解得≤a< ,
故选:C.
【点评】本题考查分段函数的性质,函数单调性的性质,属中档题.
16.(3 分)O 是平面上一定点,A、B、C 是该平面上不共线的 3 个点,一动点 P 满足:
,λ>0,则直线 AP 一定通过△ABC 的( )
A. 外心 B.内心 C.重心 D.垂心
【分析】取线段 BC 的中点 E,则=2 .动点 P 满足:,
λ>0,则 =2 .即可判断出结论.
【解答】解:取线段 BC 的中点 E,则=2 .
动点 P 满足:,λ>0,则 =2 . 则直线 AP 一定通过△ABC 的重心.
故选:C.
【点评】本题考查了向量平行四边形法则、三角形重心的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
17.(3 分)若函数 f(x)的值域是,则函数的值域是( )
A. B. C. D.
【分析】令 f(x)=t,则 t∈,然后利用“对勾函数”的单调性求函数的值域.
【解答】解:令 f(x)=t,则 t∈,
∴函数 化为 y=t+,t∈ , 该函数在[ ,1]上为减函数,在[1,4]上为增函数, 而 f(1)=2,f()=f(4)= ,
∴函数 的值域是[2, ]. 故选:D.
【点评】本题考查函数值域的求法,训练了利用“对勾函数”的单调性求函数的值域, 是基础题.
18.(3 分)对于函数 f(x)=,下列命题正确的是( )
A.值域[﹣1,1]
B. 当且仅当 x=2kπ+ ,(k∈Z)取得最大值
C. 最小正周期为π
D. 当且仅当 2kπ+π<x<2kπ+,(k∈Z)时 f(x)<0
【分析】根据题意,讨论函数 f(x)的定义域、值域,单调性与最值,从而得出正确的结论.
【解答】解:∵函数 f(x)=,
∴当 sinx≥cosx 时,+2kπ≤x≤ +2kπ, sinx<cosx 时,﹣+2kπ<x<+2kπ(k∈Z);
∴f(x)= ,
∴f(x)的值域为[﹣ ,1],A 错误;
当 x=+2kπ或 x=2kπ(k∈Z)时,f(x)取得最大值为 1,∴B 错误;
∵f(x+π)=≠f(x),
∴f(x)不是以π为最小正周期的周期函数,∴C 错误;
当 f(x)<0 时,2kπ+π<x<2kπ+(k∈Z),
又当 2kπ+π<x<2kπ+,(k∈Z)时,f(x)<0,∴D 正确;综上,正确的命题是 D.
故选:D.
【点评】本题考查了三角函数的定义域、值域以及单调性与周期性的应用问题,解题时应熟记三角函数的性质,是中档题.
三.解答题
19. 定义在 R+的增函数,对任意的 x,y∈R+,f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1.
(1)求 f(9);
(2)若 f(a)>f(a﹣1)+2,求 a 的取值范围.
【分析】(1)令 x=y=3 得出 f(9);
(2)根据函数的单调性和性质及定义域列不等式组求出 a 的范围.
=2sinA,求 a,b 的值.
【分析】(1)先化简函数 f(x),再求函数的单调递减区间和最小正周期;
(2)先求 C,再利用余弦定理、正弦定理,建立方程,即可求 a、b 的值.
【解答】解:(1)∵f(x)=sin2x﹣cos2x﹣,x∈R.
= sin2x﹣ ﹣
=sin(2x﹣ )﹣1
∴T= =π
∴由 2kπ+≤2x﹣ ≤2kπ+ ,k∈Z 可解得:x∈[kπ,kπ+ ],k∈Z
∴f(x)单调递减区间是:[kπ ,kπ+ ],k∈Z
(2)f(C)=sin(2C﹣ )﹣1=0,则 sin(2C﹣)=1
∵0<C<π,
∴C=
∵sinB=2sinA,
∴由正弦定理可得 b=2a①
∵c= ,
∴由余弦定理可得 c2=a2+b2﹣ab=3②
由①②可得 a=1,b=2.
【点评】本题考查三角函数的化简,三角函数的性质,考查余弦定理、正弦定理的运用, 属于中档题.
22. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n﹣5an﹣85,n∈N*.
(1) 证明:{an﹣1}是等比数列;
(2) 求出 n 为何值时,Sn 取得最小值,并说明理由.
【分析】(1)运用数列的通项与求和的关系:当 n=1 时,a1=S1,当 n≥2 时,an=Sn
﹣Sn﹣1,通过构造数列,结合等比数列的定义和通项公式,即可得到所求;
(2)将(1)的结论代入条件,可得 n+75×()n﹣1﹣90,设 Sk 为最小值,则,运用通项公式,结合对数函数的单调性,解不等式计算即可得到所求 n 的值.
【解答】解:(1)证明:∵Sn=n﹣5an﹣85,∴当 n=1 时,S1=1﹣5a1﹣85,即 a1=1﹣5a1﹣85,解得 a1=﹣14;
当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(n﹣5an﹣85)﹣[(n﹣1)﹣5an﹣1﹣85]=﹣5an+5an﹣1+1, 整理得 6an=5an﹣1+1,∴6(an﹣1)=5(an﹣1﹣1),
∴ = .又 a1﹣1=﹣15,
∴数列{an﹣1}是以﹣15 为首项,为公比的等比数列.
(2)由(1)知,∴an=﹣15×( )n﹣1+1,
代入 Sn=n﹣5an﹣85 得,Sn=n﹣5[﹣15×()n﹣1+1]﹣85
=n+75×( )n﹣1﹣90.
设 Sk 为最小值,则 ,即有 ,
即 ,
即 ,可得 ,
即 ≤k≤ +1,
又 = = ,
lg2≈0.3,lg3≈0.48,∴ ≈14.75.
∴14.75≤k≤15.75.又∵k∈N+,∴k=15. 即当 n=15 时,Sn 取得最小值.
【点评】本题考查数列的通项的求法,注意运用数列通项与前 n 项和的关系,考查构造
数列法,运用等比数列的定义和通项公式,同时考查数列的求和及最值的求法,注意运
用不等式的解法和对数函数的性质,考查化简整理的运算能力,属于难题.
23. 已知函数 f(x)=loga(a>0,a≠1)是奇函数.
(1) 求实数 m 的值
(2) 判断函数 f(x)在(1,+∞)上的单调性,并给出证明
(3) 当 x∈(n,a﹣2)时,函数 f(x)的值域是(1,+∞),求实数 a 与 n 的值.
【分析】(1)由函数 f(x)是奇函数,得对定义域任意 x,恒有 f(﹣x)+f(x)=0,由此能求出实数 m 的值.
(2)得 = ,当 a>1 时,f(x)在(1,+∞)上递减,
当 0<a<1 时,f(x)在(1,+∞)上递增,利用定义法能进行证明.
(3)由题意知 f(x)是定义域为(﹣∞,1)∪(1,+∞)的奇函数.当(n,a﹣2)⊆
(﹣∞,﹣1),即 0<a<1 时,f(x)在(n,a﹣2)上为增函数;当(n,a﹣2)⊆(1,
+∞),即 1≤n≤a﹣2,有 a>3,在(n,a﹣2)上 f(x)为减函数.再由由值域为(1,
+∞),能求出实数 a 与 n 的值.
【解答】解:(1)∵函数 f(x)=loga(a>0,a≠1)是奇函数,
∴对定义域任意 x,恒有 f(﹣x)+f(x)=0,即=0, 解得 m=﹣1 或 m=1(舍去),
∴实数 m 的值为﹣1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3 分)
(2)由(1)得 = ,
当 a>1 时,f(x)在(1,+∞)上递减,当 0<a<1 时,f(x)在(1,+∞)上递增. 现证明如下:
设 t==1+ ,
∀x1>x2>1,
t1﹣t2= = <0,
∴t1<t2,
当 a>1 时,logat1<logat2,即 f(x1)<f(x2),即 f(x)在(1,+∞)上单调递减;
当 0<a<1 时,logat1>logat2,即 f(x1)>f(x2),即 f(x)在(1,+∞)上单调递增.﹣
﹣﹣﹣(8 分)
(3)由题意知 f(x)是定义域为(﹣∞,1)∪(1,+∞)的奇函数.
①当(n,a﹣2)⊆(﹣∞,﹣1),即 a﹣2≤﹣1,即 0<a<1 时,由(2)知 f(x)在(n,a﹣2)上为增函数,
由值域为(1,+∞),得 ,无解.
②当(n,a﹣2)⊆(1,+∞),即 1≤n≤a﹣2,有 a>3,由(2)知在(n,a﹣2)上 f(x)为减函数,
由值域为(1,+∞),得 ,解得 a=2,n=1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)
【点评】本题考查实数值的求法,考查函数的单调性的判断与证明,是基础题,解题时要认真审题,注意函数的奇偶性、单调性的合理运用.
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